Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Có \(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)\(=x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+y^2+2y.\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\)\(=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(x^2\)và \(y^2\), ta có: \(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

Tương tự, ta có \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}\)

Từ đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)\(=32xy+\frac{2}{xy}-30xy+4\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(32xy\)và \(\frac{2}{xy}\), ta có: \(32xy+\frac{2}{xy}\ge2\sqrt{32xy.\frac{2}{xy}}=16\)

Lại có \(xy\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-xy\ge-\frac{1}{4}\)nên \(K\ge16-\frac{30}{4}+4=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của K là \(\frac{25}{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(K=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+4=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16x^2}+\dfrac{15}{16y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{2.15}{16xy}=5+\dfrac{2.15}{16xy}\)

\(x+y\ge2\sqrt{xy};\Rightarrow2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow K\ge5+\dfrac{2.15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{25}{2}\)

Bạn dùng kĩ thuật chọn điểm rơi nhé.

Phân tích đến chỗ \(K=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)đúng k?

Dự đoán K đạt GTNN khi \(x=y=\frac{1}{2}\), vậy các BĐT trong quá trình giải phải đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vì vậy ta có thể dùng \(x^2+y^2\ge2xy\); \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)

Do đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)

Lúc này ta tìm điều kiện của \(xy\)

Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)(vẫn đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\))

Vấn đề bây giờ là nếu áp dụng thẳng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(2xy\)và \(\frac{2}{xy}\), khi đó dấu "=" xảy ra khi \(2xy=\frac{2}{xy}\Leftrightarrow4\left(xy\right)^2=2\Leftrightarrow xy=\frac{1}{\sqrt{2}}\ge\frac{1}{4}\)(trái với \(xy\le\frac{1}{4}\))

Do đó ta cần tách 2xy thành 2 hạng tử trong đó có 1 hạng tử \(kxy\)khi áp dụng Cô-si với \(\frac{2}{xy}\)sẽ đảm bảo dấu "=" xảy ra. (cụ thể là khi \(kxy=\frac{2}{xy}\)

Mà ta đã dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\), khi đó \(\frac{2}{xy}=\frac{2}{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}=8\), do đó \(kxy=8\)hay \(k.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=8\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}k=8\Leftrightarrow k=32\)Vậy bạn thấy tớ tách như bài làm trên 

a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

ap dung bdt cauchy schwarz ta co

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}>=\frac{\left(x-1+z-1+y-1\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)

vay min=1/2

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

1) có \(2y\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+\frac{1}{4\sqrt{xy}}\right)^2+\frac{15}{16xy}+\frac{1}{2}\ge\frac{15}{16}\cdot4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=|x-1|=1-x.\)

\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=|y-1|=1-y.\)

\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=|z-1|=1-z.\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z.\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\)

Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)

1. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1

Tìm GTNN của P= x-1/y² +y-1/x² + x-1/x²

               ^Giải

Từ gt⇒1xy+1yz+1zx=1⇒1xy+1yz+1zx=1

Theo AM-GM ta có:

P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥√3∑1xy+∑1xy−2=√3−1P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥3∑1xy+∑1xy−2=3−1

Dấu = xảy ra⇔x=y=z=1√3

P/S: ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ NÊN BẠN TỰ LÀM NHA !! CHÚC HOK TỐT!

Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ngắn hơn nhiều 

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge\frac{\left(x-1+y-1+z-1\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}..\)